L’obbiettivo del primo incontro è stato quello di indagare la familiarità degli studenti con il concetto di divisione e più in particolare far cogliere la differenza tra divisione in parti uguali e divisione in parti diverse di uno stesso oggetto. L’attività ha avuto inizio consegnando ai bambini cannucce che abbiamo scelto in modo che apparissero uniformi e prive di segni evitando suggerimenti su come suddividerle. Agli studenti della prima fila abbiamo chiesto di dividere la cannuccia in due parti, a quelli della seconda in tre parti, e così via fino a cinque parti, senza specificare come dovessero essere queste parti. I bambini a cui è stato chiesto di dividere la cannuccia in due parti istintivamente hanno fatto le parti uguali, mentre per tutti gli altri la richiesta è stata percepita come più difficile: abbiamo osservato che molti hanno effettuato un numero di tagli pari al numero di parti richieste, ad esempio la fila da 5 ha effettuato 5 tagli ritrovandosi effettivamente con 6 parti.
Questo imprevisto è stato per discutere con la classe sulla possibilità di ricercare una regola che mette in relazione il numero di tagli con il numero di parti. Dopo una discussione abbiamo stabilito una forma per la regola “il numero dei tagli è uno in meno di quello delle parti” e i bambini la hanno scritta sul quaderno. Questa richiesta è stata utile anche per riflettere con i bambini sui modi per confrontare le parti delle cannucce fra di loro. Sono stati esplorati vari modi:
– il confronto diretto per affiancamento delle parti, in cui abbiamo fatto notare l’importanza di fare in modo che le parti abbiano una estremità sulla stessa linea
– il confronto indiretto tramite un’unità di misura, ovvero utilizzando un righello. Questo metodo ci ha permesso di discutere con i bambini sulla lettura della scala graduata del righello, introducendo il concetto di sottomultiplo come quantità che “entra” n volte in parti uguali in un intervallo fissato.
Abbiamo concluso questa parte dell’attività stabilendo un modo per definire le parti uguali, ovvero quelle che confrontate direttamente hanno la stessa lunghezza, o che confrontate indirettamente hanno la stessa misura.
L’attività è proseguita distribuendo ad ogni bambino un pezzo di spago di lunghezza diversa dagli altri. Abbiamo posto l’attenzione sulla differenza tra dividere in due parti e dividere in due parti uguale, facendo riflettere sul fatto che dividere in due parti uguali significa dividere a metà. Questo tempo di discussione è molto utile dal nostro punto di vista perché serve per collegare parole di uso quotidiano a concetti matematici rigorosi. I bambini hanno diviso lo spago in due parti uguali e abbiamo fatto notare che il mezzo spago di ogni singolo bambino era di lunghezza diversa da quello di tutti gli altri.
Come ultima attività abbiamo posto il problema di dividere e confrontare una certa quantità di acqua. In un primo momento abbiamo utilizzato bicchieri uguali, e in quel caso i bambini hanno pesato di utilizzare il metodo del confronto diretto tra le parti semplicemente osservando il livello dell’acqua nei vari bicchieri. In seguito abbiamo proposto la stessa attività utilizzando però contenitori di forma diversa: in questo caso quale può essere un metodo per avere parti uguali? Un bambino ha proposto di eleggere uno dei bicchieri ad unità di misura, utilizzandolo come quantitativo base per riempire gli altri contenitori, in maniera da avere la stessa quantità in tutti.
Per il secondo incontro abbiamo preparato un’attività in continuità con il frazionamento dei volumi. In particolare, ci siamo soffermati su come e cosa significa dividere in parti uguali superfici.
A tale scopo abbiamo iniziato l’attività consegnando a ogni bambino un foglio A4. Ricollegandoci a ciò che era stato fatto nella prima attività, abbiamo chiesto inizialmente di dividere a metà il foglio; tutti hanno scelto di piegare il foglio in modo da far coincidere i lati corti. A questo punto abbiamo fatto notare che è possibile piegare il foglio scegliendo altre linee e che così facendo si ottengono forme diverse dalla prima piegatura: queste forme rappresentano sempre metà foglio? Inizialmente i bambini ci sono sembrati poco convinti e per aiutarli nel trovare un modo per rispondere alla domanda abbiamo suggerito di confrontare tali forme utilizzando il confronto diretto. In un primo momento sono state confrontate forme ottenute da piegature su stessa linea “mettendole una sopra l’altra”. Successivamente sono state sovrapposte forme ottenute da piegature su linee diverse. Questo metodo non permette il confronto diretto dell’area. I bambini non hanno ancora affrontato lo studio delle superfici e quindi non hanno confidenza sui metodi di misura di queste. Per questo motivo abbiamo ragionato con i bambini sul fatto che anche se le forme sono ottenute da diversi modi di piegare il foglio, su di esso viene sempre fatto un solo taglio in modo da ottenere parti uguali fra loro e che ricomposte restituiscono l’intero (il foglio). Per rafforzare questo concetto abbiamo proseguito l’attività continuando a dividere a metà le parti ottenute. La grande varietà di forme diverse che si possono ricavare (tangram) ci ha permesso di ampliare le riflessioni sull’equivalenza tra forme geometriche e la loro rappresentazione come frazioni di un intero. La questione è molto complessa, le difficoltà emerse nel cogliere il significato di uguaglianza e l’ambiguità stessa della richiesta ci ha fatto riflettere su come continuare a lavorare per aiutare i bambini a familiarizzare con la divisione in parti uguali e il loro confronto, e con il concetto stesso di uguaglianza, che da un punto di vista matematico è molto variegato.
Durante questa sperimentazione ci siamo accorti che la richiesta di dividere in parti uguali un intero, che per noi adulti può sembrare scontata, in realtà per i bambini nasconde diverse criticità. In particolare la difficoltà maggiore è legata all’individuare quale proprietà dell’intero può essere diviso in parti uguali. Ad esempio nella prima attività l’operazione di divisione ha riguardato principalmente la grandezza fisica lunghezza. I bambini nelle diverse operazioni di taglio non hanno avuto difficoltà nel riconoscere la lunghezza come proprietà oggetto della divisione. Invece, come vedremo, alla richiesta di suddividere in parti uguali un foglio di carta i bambini hanno istintivamente ritagliato il foglio facendo attenzione a ottenere due forme uguali, non accorgendosi da subito che era possibile ottenere parti uguali di forme diverse in quanto la proprietà oggetto della richiesta è l’area del foglio. Dalla nostra esperienza analizzare questa difficoltà non è affatto semplice, nonostante ciò, abbiamo tentato di argomentare su ciò che è emerso. Dal nostro punto di vista pensiamo che la difficoltà risieda in due aspetti cognitivi fondamentali:
- il primo, riguarda il fatto che mentre per gli adulti è scontato capire da subito qual è la grandezza fisica oggetto della divisione (ad es. peso, volume, costo, area, ecc. ) per il bambino (6-8 anni) non lo è. Egli istintivamente divide sempre utilizzando categorie associate alla sua capacità senso-percettiva: forme, colori, quantità discrete;
- il secondo, è legato al rapporto tra la capacità di analisi linguistica del bambino e la formulazione semantica della richiesta da parte dell’adulto/docente. Come anche detto precedentemente, nella proposta didattica il docente deve avere cura di non lasciare nulla di sottointeso e di aiutare il bambino nel riconoscere la proprietà che va suddivisa. Le attività devono dare possibilità di sperimentare l’operazione di divisione in situazioni diverse: dividere volumi, aree, lunghezze, insiemi discreti (ad es. le carte).